概率论与数理统计:第一章 事件的概率

  1. 古典概率
  2. 古典概率计算

1.古典概率

古典概率的定义:假设一个试验有N个等可能的结果,而事件E恰包含其中的M个结果,则事件E的概率记为\(P(E)\),定义为:

\(P(E)=M / N\) 公式1

例1 分赌本问题:甲、乙两人赌技相同,各出赌注500元。约定:谁先胜三局则谁拿走全部1000元。现已赌了三局,甲二胜一负,而因故要中止赌博。问:这1000 元要如何分才算公平?

对于上面的问题,第一直觉就是“赌博违法”—此处感谢金花(?

然后我搜了一下,百度百科解释如图1。上面赌博明显是为了研究数学问题,不是为了营利(划重点),所以不算违法,恩是的。我又涨姿势了。

图1 重点是:是不是为了营利

对于上面的问题,第一直觉就是按已发生的胜局数量来,即甲赢了2次、乙赢了1次,所以甲拿走1000元的三分之二,乙拿走1000元的三分之一。

对于概率问题,通常第一直觉都是不合理的(确实)。思考倘若在甲赢2乙赢1的前提下,赌局并没有被停止,即还会继续赌博两局,剩下两局结果无非是如下四种情况:

  1. 甲赢,甲赢
  2. 甲赢,乙赢
  3. 乙赢,甲赢
  4. 乙赢,乙赢

在甲乙赌技相当的条件下,上述四种情况出现的概率相等,即都为1/4。

在赌局没有被停止且甲赢2乙赢1的前提下:

  • 对于前三种情况,都是甲先赢得三局,因而甲赢的1000元。即甲赢的1000的概率为3/4。
  • 对于最后一种情况,是乙先赢得三局,因而乙赢的100元。即乙赢的1000的概率为1/4。

基于上述结果,在甲赢2乙赢1的前提下停止赌局,全部赌本1000元应该按照上述比例分才是合理的,即甲分750、乙分250。

古典概率的局限性:只能用于试验结果为有限个且等可能性成立的情况下。

当概念延伸到试验结果无限多的情况时,那就是几何概率了。

例2

2. 古典概率的计算

2.1 排列和组合

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